主要内容：

本文通过对函数两边同时取自然对数，以及幂指函数变底方法，介绍计算y=(2sin2x+1)^(cos2x)的一阶导数的主要步骤，并介绍求点(π/4,1)处的切线方程。

方法一：取自然对数法

∵y=(2sin2x+1)^(cos2x)

∴lny=cos2x*ln(2sin2x+1),

两边同时对x求导，则：

dy/y=-sin2x*ln(2sin2x+1)dx+2cos2x*cos2xdx/(2sin2x+1)

=[2cos2x*cos2x-sin2x*(2sin2x+1)*ln(2sin2x+1)]dx/(2sin2x+1),即：

dy/dx=(2sin2x+1)^(cos2x)*[2cos2x*cos2x-sin2x*(2sin2x+1)*ln(2sin2x+1)]/(2sin2x+1).

方法二：幂指函数变底方法

∵y=(2sin2x+1)^(cos2x)=e^[cos2x*ln(2sin2x+1)]

∴dy/dx

=e^[cos2x*ln(2sin2x+1)]*[-sin2x*ln(2sin2x+1)+2cos2x*cos2x/(2sin2x+1)]

=e^[cos2x*ln(2sin2x+1)]*[2cos2x*cos2x-sin2x*(2sin2x+1)*ln(2sin2x+1)]/(2sin2x+1)

=(2sin2x+1)^(cos2x)*[2cos2x*cos2x-sin2x*(2sin2x+1)*ln(2sin2x+1)]/(2sin2x+1).

求函数的切线：

对于点A(π/4,1)处，该点处导数值为：

dy/dx(x=π/4)

=[2cosπ/2*cosπ/2-(2sinπ/2+1)*ln(2sinπ/2+1)]/(2sinπ/2+1)

=-ln(2sinπ/2+1).

=-ln3

由直线点斜式方程，可得函数切线方程为：

y-1=-ln3*(x-π/4).

幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为变量的函数。