韦达定理是中学数学（初中、高中）非常重要的内容之一，既是难点，也是重点，其知识脉络贯穿于整个中学数学的始终，初中阶段可能涉及到，但初中数学老师未必讲的太深入，到了高中之后学生们会发现其应用非常广泛，在考试中频繁出现，以至于很多高中老师还要重新再讲一遍。要想学好数学，韦达定理必须必须必须要熟练掌握。
韦达定理：方程ax²＋bx＋c=0（a≠0），当∆=b²-4ac≥0时，方程的两个根x₁、
x₂和系数a、b、c有如下的关系：
x₁＋x₂=-，x₁x₂＝.
其推导过程如下：
方程ax²＋bx＋c=0（a≠0）的求根公式x=，不仅可以表示由方程系数a、b、c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.
下面我们进一步讨论根与系数的关系。
根据求根公式可知，当b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²＋bx＋c=0（a≠0）的两个根为：
x₁=，x₂=，
由此可得
x₁＋x₂=+=-，
x₁x₂＝·
==，
因此，方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下的关系：
x₁＋x₂=-，x₁x₂＝，
这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理。
反过来，韦达定理的逆定理：如果x₁、x₂，满足x₁＋x₂=-，x₁x₂＝，那么x₁、x₂一定是方程ax²＋bx＋c=0（a≠0）的两个根。
特别地，
（1）如果方程x²+px+q=0的两个根是x₁、x₂，那么x₁＋x₂=-p，x₁x₂＝q；
（2）以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂=0.
例题1：根据一元二次方程根与系数的关系，求方程3x²＝1-2x两根的和与积；
解：化成一元二次方程的一般形式ax²＋bx＋c=0（a≠0），直接应用韦达定理x₁＋x₂=-，x₁x₂＝.
3x²＝1-2x ，即3x²+2x-1=0，则x₁+x₂=-，x₁x₂＝-.
3x²+2x.-1=0也可以利用十字相乘法进行因式分解得3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）=0，
得到x₁=，x₂＝-1.涉及到初高中数学衔接因式分解相关内容，可以点击以下链接查看：数学初高中衔接——因式分解
例题2：已知方程5x²＋2x－15=0，求（1）两根的倒数和；（2）两根的平方和.
本题可以先求出方程的两根（x=），再进行相关的计算，但是计算非常繁琐，浪费时间，容易出错。根据韦达定理，将代数式变成含有x₁＋x₂和x₁x₂形式的式子，可以简化运算，快捷且准确率高。
解：设方程的两个根为x₁、x₂，根据韦达定理，有x₁+x₂=-，x₁x₂＝-3.
（1）+===，
（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-）²-2×(-3)=.
例题3：写出一个一元二次方程，使它的两个根为-5和3.
方程的根是由它的系数决定的，给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程，但得到的一元二次方程不唯一，不过它们的各次项的系数对应成比例。如x²-x-6=0与2x²-2x-12=0的根是一样的。
为了计算方便，一般设所求的方程为x²+px+q=0.
解：设所求的方程为x²+px+q=0，由根与系数的关系可知-5+3=-p，-5×3=q，得p=2，q=-15.
因此，一元二次方程为x²+2x-15=0.